Push-Relabel Algorithm, Goldberg-Tarjan Algorithm
概要
最大流問題は、有向グラフ \(G = (V, E)\) の各辺 \(e \in E\) に容量 \(c(u, v)\) がついており、このグラフ上のsourceからsinkへ流せる流量を求める問題である。
最大フロー最小カット定理が成り立つため、最小カット問題も解くことができる。
Push-Relabel Algorithm
Push-Relabel Algorithm では、超過量のフロー(excess flow)を流し、すりきるような感じでsourceからsinkに流す。
このアルゴリズムではactiveな頂点(excess flowを持つ頂点)を選び、以下の二種類の操作を行う。
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Push操作: capacityが残っている辺を通して、距離ラベルが小さい頂点にexcess flow分を流す
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Relabel操作: activeな頂点の距離ラベルを貼り直す
highest selection では、距離ラベル分のbucketを用意してラベルが最大の頂点を常に選択してpush, relabelを行う。
このアルゴリズムはいくつかのヒューリスティックを入れることで高速化できる。
計算量
\(O(|V|^2 \sqrt{|E|})\)
実装
以下のヒューリスティックを入れた実装
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Global Labeling
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Gap-Relabeling (たぶん正しいはず)
状態をfreezeしてるため、フローを流した後のグラフ全体の正しい状態を得るには、frozenした頂点のexcess flowをsourceに戻す必要がある
#include<vector>
using namespace std;
using ll = long long;
#define N 2000
class PushRelabel {
const ll inf = 1e18;
int n;
struct Edge {
int to;
ll cap;
int rev;
};
vector<Edge> g[N];
int qs[N];
// height, distance label, excess flow
int hs[N], ds[N];
ll fs[N];
// active node
bool active[N];
// bucket
vector<int> bs[N];
int cur;
public:
PushRelabel() {}
PushRelabel(int n) { init(n); }
inline void init(int n) { this->n = n; }
inline void add_edge(int fr, int to, ll cap) {
g[fr].emplace_back(Edge{to, cap, (int) g[to].size()});
g[to].emplace_back(Edge{fr, 0, (int) g[fr].size()-1});
}
// Global labeling
inline int bfs(int t) {
int a = 0, b = 1;
for(int i=0; i<n; ++i) hs[i] = n, ds[i] = 0, bs[i].clear();
qs[0] = t;
hs[t] = 0; ds[0] = 1;
cur = 0;
int d = 0;
while(a < b) {
int v = qs[a++];
d = hs[v];
for(Edge &e : g[v]) {
int w = e.to;
if(hs[w] <= d + 1 || g[w][e.rev].cap == 0) continue;
hs[w] = d + 1;
if(active[w] && d+1 < n) {
bs[d+1].push_back(w);
cur = d+1;
}
if(d+1 < n) ++ds[d+1];
qs[b++] = w;
}
}
return d+1;
}
inline ll flow(int s, int t) {
for(int i=0; i<n; ++i) fs[i] = 0, active[i] = false;
fs[s] = inf;
active[s] = true;
// initialize hs, bs, ds
int gap = bfs(t);
bs[cur].push_back(s);
int cnt = 0;
while(1) {
while(cur >= 0 && bs[cur].size() == 0) --cur;
if(cur < 0) break;
int v = bs[cur].back(); bs[cur].pop_back();
if(v == t) continue;
int hv = hs[v];
// Gap-relabeling
if(hv > gap) {
if(hv < n) --ds[hv];
hs[v] = n;
continue;
}
// push
ll rest = fs[v];
for(Edge &e : g[v]) {
int w = e.to;
if(e.cap > 0 && hv > hs[w] && hs[w] < gap) {
ll d = min(rest, e.cap);
e.cap -= d;
g[w][e.rev].cap += d;
rest -= d;
fs[w] += d;
if(!active[w]) {
int hw = hs[w];
bs[hw].push_back(w);
if(cur < hw) cur = hw;
active[w] = true;
}
if(rest == 0) break;
}
}
fs[v] = rest;
if(rest == 0) {
active[v] = false;
continue;
}
// relabel
int h0 = hs[v];
hv = n;
for(Edge &e : g[v]) {
int w = e.to;
if(e.cap > 0 && hv > hs[w] + 1 && hs[w] < gap) {
hv = hs[w] + 1;
}
}
if(h0 != hv) {
--ds[h0];
if(ds[h0] == 0 && h0 < gap) {
gap = h0;
hv = n;
} else if(hv == gap) {
++gap;
}
if(hv < n) ++ds[hv];
}
hs[v] = hv;
if(hv < n) {
bs[hv].push_back(v);
if(cur < hv) cur = hv;
} else {
active[v] = false;
}
if((++cnt) % n == 0) {
gap = bfs(t);
}
}
return fs[t];
}
};