概要
Li-Chao (Segment) Treeはセグメント木を用いてConvex Hull Trickを行うアルゴリズム。
詳細はこちら(ブログ): Li Chao Treeのメモ
計算量
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直線追加: \(O(\log N)\)
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線分追加: \(O(\log^2 N)\)
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最小値計算: \(O(\log N)\)
実装
# Li Chao Tree
M = ...
N0 = 2**(M-1).bit_length()
data = [None]*(2*N0+1)
X = [10**10]*N0 # N0に持つ座標N個を入れる
def f(line, x):
p, q = line
return p*x + q
def _add_line(line, k, l, r):
m = (l + r) // 2
if data[k] is None:
data[k] = line
return
lx = X[l]; mx = X[m]; rx = X[r-1]
left = (f(line, lx) < f(data[k], lx))
mid = (f(line, mx) < f(data[k], mx))
right = (f(line, rx) < f(data[k], rx))
if left and right:
data[k] = line
return
if not left and not right:
return
if mid:
data[k], line = line, data[k]
if left != mid:
_add_line(line, 2*k+1, l, m)
else:
_add_line(line, 2*k+2, m, r)
# 直線のみに対応する場合のadd_line: O(log N)
def add_line(line):
return _add_line(line, 0, 0, N0)
# 線分に対応する場合のadd_line: O(log^2 N)
def add_line(line, a, b):
L = a + N0; R = b + N0
a0 = a; b0 = b
sz = 1
while L < R:
if R & 1:
R -= 1
b0 -= sz
_add_line(line, R-1, b0, b0+sz)
if L & 1:
_add_line(line, L-1, a0, a0+sz)
L += 1
a0 += sz
L >>= 1; R >>= 1
sz <<= 1
def query(k):
x = X[k]
k += N0-1
s = 1e30
while k >= 0:
if data[k]:
s = min(s, f(data[k], x))
k = (k - 1) // 2
return s