最大フロー問題を解くアルゴリズムの Dinic’s Algorithm

概要

最大流問題は、有向グラフ\(G = (V, E)\)の各辺\(e \in E\)に容量\(c(u, v)\)がついており、このグラフ上のsourceからsinkへ流せる流量を求める問題である。

最大フロー最小カット定理が成り立つため、最小カット問題も解くことができる。

Dinic’s Algorithm

Ford-Fulkerson algorithmよりも早い最大流アルゴリズム。 以下の処理をフローを流しきるまで繰り返す。

  1. BFSでsourceから各頂点までの距離(\(level\))を計算

  2. DFSで、sourceからの距離が遠くなるようなパスを見つけ、フローを流す

計算量

\(O(V^2E)\)

実装

# Dinic's algorithm
from collections import deque
class Dinic:
    def __init__(self, N):
        self.N = N
        self.G = [[] for i in range(N)]

    def add_edge(self, fr, to, cap):
        forward = [to, cap, None]
        forward[2] = backward = [fr, 0, forward]
        self.G[fr].append(forward)
        self.G[to].append(backward)

    def add_multi_edge(self, v1, v2, cap1, cap2):
        edge1 = [v2, cap1, None]
        edge1[2] = edge2 = [v1, cap2, edge1]
        self.G[v1].append(edge1)
        self.G[v2].append(edge2)

    def bfs(self, s, t):
        self.level = level = [None]*self.N
        deq = deque([s])
        level[s] = 0
        G = self.G
        while deq:
            v = deq.popleft()
            lv = level[v] + 1
            for w, cap, _ in G[v]:
                if cap and level[w] is None:
                    level[w] = lv
                    deq.append(w)
        return level[t] is not None

    def dfs(self, v, t, f):
        if v == t:
            return f
        level = self.level
        for e in self.it[v]:
            w, cap, rev = e
            if cap and level[v] < level[w]:
                d = self.dfs(w, t, min(f, cap))
                if d:
                    e[1] -= d
                    rev[1] += d
                    return d
        return 0

    def flow(self, s, t):
        flow = 0
        INF = 10**9 + 7
        G = self.G
        while self.bfs(s, t):
            *self.it, = map(iter, self.G)
            f = INF
            while f:
                f = self.dfs(s, t, INF)
                flow += f
        return flow

Verified

  • AOJ: "GRL_6_A: Network Flow - Maximum Flow": source (Python3, 0.03sec)

  • AtCoder: "早稲田大学プログラミングコンテスト2019 - F問題: RPG": source (Python3, 377ms), source (PyPy3, 511ms)

Verified (旧実装)

  • CodeChef: "CodeChef June Challenge 2018 - Binary Board": source (Python3, 7.84sec)

  • AtCoder: "AtCoder Regular Contest 085 - E問題: MUL": source (Python3, 23ms)

  • AtCoder: "天下一プログラマーコンテスト2015予選A - C問題: 天下一美術館": source (Python2, 1417ms)

  • AtCoder: "東京工業大学プログラミングコンテスト2015 - L問題: グラフ色ぬり": source (Python2, 74ms)

  • AOJ: "GRL_6_A: Network Flow - Maximum Flow": source (Python2, 0.01sec), source (Python3, 0.03sec)