最大二部マッチング (maximum bipartite matching)

概要

最大二部マッチングは、二部グラフ\(G = (V, E)\)上で各辺の容量が1の、最大マッチングを求める問題である。

二部グラフ上では、以下の関係が成り立つ

  • 最大マッチング のサイズ + 最小辺被覆 のサイズ = \(|V|\)

  • 最大マッチング のサイズ = 最小点被覆 のサイズ

  • 最大安定集合 のサイズ + 最小点被覆 のサイズ = \(|V|\)

Hopcroft-Karp Algorithm

最大二部マッチングを解くアルゴリズムである。

Dinic’s Algorithmと同じで、以下の手順を繰り返して解を求める。

  1. BFSでsourceから各頂点までの距離(\(level\))を計算

  2. DFSで、sourceからの距離が遠くなるようなパスを見つけ、フローを流す

計算量

\(O(|E| \sqrt{|V|})\)

実装

# Hopcroft-Karp Algorithm
from collections import deque
class HopcroftKarp:
    def __init__(self, N0, N1):
        self.N0 = N0
        self.N1 = N1
        self.N = N = 2+N0+N1
        self.G = [[] for i in range(N)]
        for i in range(N0):
            forward = [2+i, 1, None]
            forward[2] = backward = [0, 0, forward]
            self.G[0].append(forward)
            self.G[2+i].append(backward)
        self.backwards = bs = []
        for i in range(N1):
            forward = [1, 1, None]
            forward[2] = backward = [2+N0+i, 0, forward]
            bs.append(backward)
            self.G[2+N0+i].append(forward)
            self.G[1].append(backward)

    def add_edge(self, fr, to):
        #assert 0 <= fr < self.N0
        #assert 0 <= to < self.N1
        v0 = 2 + fr
        v1 = 2 + self.N0 + to
        forward = [v1, 1, None]
        forward[2] = backward = [v0, 0, forward]
        self.G[v0].append(forward)
        self.G[v1].append(backward)

    def bfs(self):
        G = self.G
        level = [None]*self.N
        deq = deque([0])
        level[0] = 0
        while deq:
            v = deq.popleft()
            lv = level[v] + 1
            for w, cap, _ in G[v]:
                if cap and level[w] is None:
                    level[w] = lv
                    deq.append(w)
        self.level = level
        return level[1] is not None

    def dfs(self, v, t):
        if v == t:
            return 1
        level = self.level
        for e in self.it[v]:
            w, cap, rev = e
            if cap and level[v] < level[w] and self.dfs(w, t):
                e[1] = 0
                rev[1] = 1
                return 1
        return 0

    def flow(self):
        flow = 0
        G = self.G
        bfs = self.bfs; dfs = self.dfs
        while bfs():
            *self.it, = map(iter, G)
            while dfs(0, 1):
                flow += 1
        return flow

    def matching(self):
        return [cap for _, cap, _ in self.backwards]

Verified

  • AOJ: "GRL_7_A: Matching - Bipartite Matching": source (Python3, 0.05sec)